Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

4 )   f x = 2 x 3 - 9 x ² + 27  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = 2 x 3 - 9 x ² + 27

f ' x = 6 x 2 - 18 x  

f ' ' x = 12 x - 18

Achando os pontos críticos:

f ' x = 6 x 2 - 18 x   = 0

x ' = 0                       x ' ' = 3

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = 12 x - 18 = 0

x = 3 2

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 0 < 0   e   f ' ' 3 > 0 , ou seja, temos um valor máximo e mínimo relativo, respectivamente. A mesma conclusão pode ser observada analisando a derivada primeira, o gráfico está crescendo para valores menores que 0 e decrescendo para valores entre ( 0 , 3 2 ), ou seja, ponto máximo. Para ( 3 2 , 3 ) a função decresce e cresce para valores maiores que 3 , ou seja, ponto mínimo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda no intervalo ( 0 , 3 2 ) é negativa, concavidade para baixo, e positiva para ( 3 2 , 3 ) , concavidade para cima, indicando que x = 3 2 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 3 ;

Máximo Relativo: x = 0 ;

Pontos de inflexão   x = 3 2 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x > 3 2 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: x < 3 2 .

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2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .d) f tem infinitos extremos relativos e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .c) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f x → + ∞ quando x → +
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .d) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f x → - ∞ quando x → +
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .a) f tem exatamente um extremo relativo em I e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f é côncava para cima no intervalo I e não tem extremos relativos.