Enunciado

  1. Mostre que f x = x + e x é injetora.
  2. Qual valor de f - 1 ( 1 ) ?
  3. Use a formula do exercício 77(a) para determinar ( f - 1 ) ' ( 1 ) .

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, essa questão dá pra gente a função

f x = x + e x

E pede pra gente responder algumas coisa sobre ela.

No item a) termos que provar que ela é uma função injetora. Isso quer dizer que precisaremos mostrar que para todos os elementos diferentes do domínio, sempre teremos um valor diferente da função.

Um jeito de descobrir isso é verificando se ela é uma função crescente ou decrescente.

No item b) queremos o valor de f - 1 ( 1 ) , que nada mais é do que a função inversa.

Já no item c) vamos determinar o valor de ( f - 1 ) ' ( 1 ) . E faremos isso usando uma relação específica dada pelo livro.

Agora que já sabemos o que temos que fazer, vem comigo que te ajudo no passo a passo.

Passo 2

a) Aqui, queremos provar que

f x = x + e x

E injetora. Então vamos lá.

Assumindo

a < b

Uma vez que e x é uma função crescente,

e a < e b

e, portanto,

a + e a < b + e b

isto é,

f a < f b

Então,

f x = x + e x

é uma função crescente e, portanto, injetora.

Passo 3

b) Bom, para encontrar a inversa da função, faremos o seguinte:

vamos dizer que

f - 1 1 = f a

Então, precisamos de um a tal que:

f a = 1

Por inspeção, vemos que isso acontece para

f 0 = 0 + e 0 = 1

Então, podemos concluir que

a = 0

E, portanto,

f - 1 1 = 0

Passo 4

c) Então, fazendo ( f - 1 ) ' ( 1 ) , temos que:

f - 1 ' 1 = 1 ( f ' ( f - 1 ) ' ( 1 ) ) = 1 f ' ( 0 )

Pela parte (b).

Agora,

f x = x + e x

Isso implica que:

f ' x = 1 + e x

Então,

f ' 0 = 1 + e 0 = 2

Então,

f - 1 ' 1 = 1 f ' ( 0 ) = 1 2

Resposta

  1. demonstração
  2. f - 1 1 = 0
  3. f - 1 ' 1 = 1 2
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