Enunciado

Nos Exercícios 33 e 34, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, v cm/s é a velocidade da partícula e a cm/s² é a aceleração da partícula no instante t s. Ache v e a em termos de t. Faça uma tabela similar à Tabela 1 que dê uma descrição da posição e movimento da partícula. Inclua na tabela os intervalos de tempo, onde a partícula está se movendo para a direita e para a esquerda, onde a velocidade é crescente e decrescente, quando a velocidade escalar é crescente e decrescente, e a posição da partícula com relação à origem nesses intervalos. Mostre o comportamento do movimento numa figura similar à Figura 1.

33. s = t 3 - 9 t 2 + 15 t ,     t ≥ 0

Passo 1

Para achar v e a em termos de t como o enunciado pede, basta derivar uma vez para encontrar v e depois derivar mais uma vez para achar a.

Para saber se a partícula está à direita ou a esquerda da origem basta analisar o sinal de s, nos intervalos de tempo.

Para saber se a partícula se move para direita ou esquerda, basta avaliar o sinal de v, nos intervalos de tempo.

Para saber se a velocidade da partícula é decrescente o crescente basta avaliar o sinal de a, nos intervalos de tempo.

Para saber se a velocidade escalar da partícula é decrescente o crescente basta avaliar o sinal de a e v, nos intervalos de tempo.

Passo 2

Vamos derivar a função s ( t ) em função de t para encontrar v ( t ) :

s t = t 3 - 9 t 2 + 15 t

d s d t = v t = 3 t 2 - 18 t + 15

Agora derivando v ( t ) em função de t para encontrar a ( t ) :

d 2 s d t 2 = d v d t = a t = 6 t - 18

Passo 3

Vamos agora analisar para quais valores de t essas três quantidades se anulam.

1º - s ( t )

s t = t 3 - 9 t 2 + 15 t

t 3 - 9 t 2 + 15 t = 0

⇒ t t 2 - 9 t + 15 = 0

Logo temos que para equação ser verdadeira:

t = 0   o u   t 2 - 9 t + 15 = 0

Agora analisamos para que valores de t a seguinte equação é verdadeira:

t 2 - 9 t + 15 = 0

t = 9 ± 9 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 15 2

      = 9 ± 81 - 60 2

      = 9 ± 21 2

Assim s ( t ) se anula para:

t = 0     t = 9 + 21 2     t = 9 - 21 2

Passo 4

2º - v ( t )

v t = 3 t 2 - 18 t + 15

3 t 2 - 18 t + 15 = 0

t = 18 ± 18 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 15 2 ( 3 )

= 18 ± 324 - 180 6

= 18 ± 144 6

= 18 ± 12 6

x = 5     o u     x = 1

Assim v ( t ) se anula para:

t = 1     t = 5

Passo 5

3º - a ( t )

a t = 6 t - 18

6 t - 18 = 0

6 t = 18

t = 3

Assim a t se anula para:

t = 3

Passo 6

Agora vamos montar a tabela pedida no enunciado.

Passo 7

Abaixo está a figura que representa o comportamento do movimento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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