Enunciado

57. Se k for um inteiro positivo qualquer, prove, por indução matemática, que

D x n s e n x = s e n x     s e   n = 4 k c o s x     s e   n = 4 k + 1 - s e n x     s e   n = 4 k + 2 - c o s x     s e   n = 4 k + 3

Passo 1

Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo k=c. Então se provarmos que funciona para um k= c+1, vai funcionar para qualquer k, porque se para um certo número c o número seguinte também funciona.

Vamos fazer cada caso de n separadamente para facilitar nossa vida.

Mas antes vamos calcular as primeiras 4 derivadas de s e n x :

D x 1 s e n x = c o s x

D x 2 s e n x = - s e n x

D x 3 s e n x = - c o s x

D x 4 s e n x = s e n x

Elas vão ser uteis.

Passo 2

1º fazendo para n = 4 k :

Assumindo que para um certo valor k = c a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

D x 4 c s e n x = s e n x   p a r a   n = 4 c

Passo 3

Agora escolhendo um k = c + 1 :

D x 4 c + 1 s e n x

= D x 4 c + 4 s e n x

= D x 4 c D x 4 s e n x

Mas como vimos no passo 1:

D x 4 s e n x = s e n x

Então ficamos com:

= D x 4 c s e n x

Mas pelo passo 2,

D x 4 c s e n x = s e n x

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Passo 4

2º fazendo para n = 4 k + 1 :

Assumindo que para um certo valor k = c a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

D x 4 c + 1 s e n x = c o s x   p a r a   n = 4 c + 1

Passo 5

Agora escolhendo um k = c + 1 :

D x 4 c + 1 + 1 s e n x

= D x 4 c + 4 + 1 s e n x

= D x 4 c + 1 D x 4 s e n x

Mas como vimos no passo 1:

D x 4 s e n x = s e n x

Então ficamos com:

= D x 4 c + 1 s e n x

Mas pelo passo 4,

D x 4 c + 1 s e n x = c o s x

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Passo 6

2º fazendo para n = 4 k + 2 :

Assumindo que para um certo valor k = c a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

D x 4 c + 2 s e n x = - s e n x   p a r a   n = 4 c + 2

Passo 7

Agora escolhendo um k = c + 1 :

D x 4 c + 1 + 2 s e n x

= D x 4 c + 4 + 2 s e n x

= D x 4 c + 2 D x 4 s e n x

Mas como vimos no passo 1:

D x 4 s e n x = s e n x

Então ficamos com:

= D x 4 c + 2 s e n x

Mas pelo passo 6,

D x 4 c + 2 s e n x = - s e n x

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Passo 8

3º fazendo para n = 4 k + 3 :

Assumindo que para um certo valor k = c a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

D x 4 c + 3 s e n x = - c o s x   p a r a   n = 4 c + 3

Passo 9

Agora escolhendo um k = c + 1 :

D x 4 c + 1 + 3 s e n x

= D x 4 c + 4 + 3 s e n x

= D x 4 c + 3 D x 4 s e n x

Mas como vimos no passo 1:

D x 4 s e n x = s e n x

Então ficamos com:

= D x 4 c + 3 s e n x

Mas pelo passo 8,

D x 4 c + 3 s e n x = - c o s x

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Passo 10

Com isso podemos que concluir que a derivada do enunciado é verdadeira para qualquer n.

Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar a onde queríamos e provar o que o enunciado pedia

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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