Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 7.7 - Ex. 26a

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Um trabalhador recém contratado para uma linha de montagem pode fazer uma determinada tarefa, de tal forma que se y unidades forem completadas por dia após t dias na linha de montagem, então

d y d t = k ( 90 - y )

onde k é uma constante positiva e y < 90 para todo t ≥ 0 . No primeiro dia de trabalho 60 unidades são completadas e após 5 dias de trabalho, o trabalhador faz 75 unidades por dia.

(a) Quantas unidades por dia ele estará fazendo após 9 dias no trabalho?

Passo 1

Devemos resolver a equação diferencial dada e encontrar y ( 9 ) . Primeiro separamos as variáveis:

d y 90 - y = k d t

Agora podemos integrar:

∫ d y 90 - y = ∫ k d t ⇒ - ln ⁡ 60 - y = k t + C

⇒ ln ⁡ 90 - y = - k t - C ⇒ 60 - y = e - k t - c

⇒ y = 90 - e - k t - C = 90 - A e - k t

sendo A uma constante qualquer tal que A = e - C . Para completar nossa função, falta achar o valor de A e k .

Passo 2

Do enunciado, sabemos que y 0 = 60 . Então:

y 0 = 90 - A e 0 = 60 ⇒ 90 - A = 60 ⇒ A = 30

⇒ y = 90 - 30 e - k t = 30 3 - e - k t

De y 5 = 75 , tiramos que:

y 5 = 30 3 - e - 5 k = 75 ⇒ 3 - e - 5 k = 75 30 = 5 2

⇒ e - 5 k = 3 - 5 2 = 1 2

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 5 k = ln ⁡ 1 2 ⇒ - 5 k = ln ⁡ 1 2 ⇒ k = - 1 5 ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2 5

Agora temos nossa função completa:

y t = 30 ( 3 - e - ln ⁡ 2 5   t )

Passo 3

Para t = 9 , temos então:

y 9 = 30 3 - e - 9 ln ⁡ 2 5 = 30 3 - e ln ⁡ 2 - 9 5 = 30 3 - 2 - 9 5 ≈ 81,38

Resposta

No nono dia o trabalhador completa 81 unidades.

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