Enunciado

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Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f ' x 1 f x 1 ou, equivalentemente,

dy / dx y calculada em x = x1

35. Suponha que o número de pessoas da população de uma determinada cidade t anos após 1º de janeiro de 1986 será

40 t 2 + 200 t + 10000

c) Ache a taxa segundo a qual a população crescerá em 1º de janeiro de 2001;

d) Ache a taxa de crescimento relativo da população, estimada em 1º de janeiro de 2001 com aproximação de 0,1 por cento.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função que diz a quantidade de habitantes de uma cidade. Achar a taxa de crescimento da população nada mais é que achar a taxa de variação da mesma, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “c” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1986, logo até o dia 1º de janeiro de 2001 se passaram 15 anos, assim t = 15 será o instante avaliado.

Para facilitar nossa vida, vamos chamar a função dada no enunciado de p, assim:

p t = 40 t 2 + 200 t + 10000

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p:

p t = 40 t 2 + 200 t + 10000

p ' t = 80 t + 200

Passo 3

Agora substituindo t = 15 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento da população:

p ' t = 80 t + 200

p ' 15 = 80 15 + 200

                                                    = 1200 + 200 = 1400

Passo 4

Agora para resolver o item “d” vamos calcular somente p(15), já que o p’(15) já foi calculado no item “c”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 15 = 1400

p 15 = 40 ( 15 ) 2 + 200 ( 15 ) + 10000

              = 40 225 + 3000 + 10000

          = 9000 + 13000 = 22000

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 15 p 15

= 140 0 2200 0 ≈ 0,06 4 ⇒ 6 , 4 %

Resposta

  1. A taxa em que a população crescerá em 1º de janeiro de 2001 será de 1400 ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 2001 é de 6,4%.

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