Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f ' x 1 f x 1 ou, equivalentemente,

dy / dx y calculada em x = x1.

34. Uma empresa inicia seus negócios em 1º de abril de 1987. Os rendimentos anuais brutos da firma após t anos de operação são de p, onde

p = 50000 + 18000 t + 600 t 2

c) Ache a taxa em que que o rendimento bruto deverá estar crescendo em 1º de abril de 1997;

d) Ache a taxa prevista de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de abril de 1997, com aproximação de 0,1 por cento.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “c” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de até 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de abril de 1987, logo até o dia 1º de janeiro de 1997 só se passaram 10 anos, assim t = 10 será o instante avaliado.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:

p ( t ) = 50000 + 18000 t + 600 t 2

p ' t = 18000 + 1200 t

Passo 3

Agora substituindo t = 10 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:

p ' t = 18000 + 1200 t

p ' 10 = 18000 + 1200 ( 10 )

                                                      = 18000 + 12000 = 30000

Passo 4

Agora para resolver o item “d” vamos calcular somente p(10), já que o p’(10) já foi calculado no item “c”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 10 = 30000

p 10 = 50000 + 18000 ( 10 ) + 600 ( 10 ) 2

            = 50000 + 180000 + 600 ( 100 )

      = 230000 + 60000 = 290000

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 10 p 10

= 30000 290000 ≈ 0,103 ⇒ 1 0,3 %

Resposta

  1. A taxa em que o rendimento bruto crescerá em 1º de abril de 1997 será de 30000 ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de abril de 1997 será de 10,3%.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

30. A função custo para uma certa mercadoria é: C ( x ) = 84 + 0,16 x - 0,0006 x 2 + 0,000006 x 3 Encontre e interprete C ’ ( 100 ) .Compare C ’ ( 100 ) com o custo de produzir o 101 ° item.
26. Suponha que uma população de bactérias inicialmente com 500 bactérias triplique a cada hora.(a) Qual a população depois de 3 horas? Depois de 4 horas? Depois de t horas?(b) Use o resultado de (5)
31. Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é A ( x ) = p ( x ) x Encontre A ' ( x ) . Por que a
29. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir x novas linhas de jeans é C ( x ) = 2000 + 3 x + 0,01 x 2 + 0,0002 x 3 Encontre a função custo marginalEncontre C ’ ( 100 ) e explique
33. A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é P V = n R T , onde n é o número de mols de gás e R = 0,0821 é uma consta