Enunciado

Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.

37. y = sec ⁡ x ,   - π 2 ≤ x ≤ π 2

x = - π / 3 ,   π / 4

Passo 1

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente, a certo ponto de uma função, é numericamente igual a derivada da função nesse ponto.

Então para sabermos a inclinação das retas tangentes ao pontos x = - π / 3 ,   π / 3 vamos calcular a derivada nesses pontos.

y ' x = sec ⁡ x tg ⁡ x  

y ' - π / 3 = - 2 3

y ' π / 4 = 2

A equação da reta é da forma:

y = A x + B

Onde A é sua inclinação ou coeficiente angular, que já calculamos.

Para descobrirmos o valor de B só precisamos colocar uma valor para ( x , y ) que pertença a reta e o valor de A .

Como essas retas são tangentes a função y = sec ⁡ x nos pontos x = - π / 3 ,   π / 4 vamos usa-los:

No ponto   x = - π / 3 :

y - π / 3 = sec ⁡ - π / 3 = 2

Portanto temos o ponto ( - π / 3   , 2 ) e A = - 2 3 , calculando B :

2 = - 2 3 ( - π / 3 ) + B

B = - 2 π 3 3 + 2

Logo a equação dessa reta é:

y = - 2 2 x - 2 π 3 3 + 2

No ponto   x = π / 4 :

y π / 4 = sec ⁡ π / 4 = 2

Portanto temos o ponto ( π / 4   , 2 ) e A = 2 , calculando B :

2 = 2 ( π / 4 ) + B

B = - 2 π 4 + 2

Logo a equação dessa reta é:

y = 2 x - 2 π 4 + 2

O gráfico vai ficar dessa forma:

Resposta

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