Enunciado

Seja l a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto (1,1). O ângulo de inclinação de l é o ângulo ϕ que l faz com a direção positiva do eixo x. Calcule ϕ com a precisão de um grau.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😬

Nesse problema temos uma parábola y = x 2 e no ponto 1,1 temos uma reta tangente que chamamos de l e que forma um triangulo com o eixo x e uma reta perpendicular ao eixo x no ponto x = 2 .

Nosso objetivo é determinar o ângulo ϕ entre l e x .

Parece complicado? 😁

Se esboçarmos um gráfico da função e do triangulo, ficamos com

Conseguiu entender o gráfico? 😇

Passo 2

No triângulo direito no diagrama, seja ∆ y o lado oposto ao ângulo ϕ e ∆ x o lado adjacente ao ãngulo ϕ .

Então a inclinação da linha tangente c é

m = ∆ y ∆ x   = tan ⁡ φ

Note que 0 < φ < π / 2 . Sabemos que a derivada de f x = x 2 é f ' x = 2 x .

Assim, a inclinação da tangente à curva no ponto 1,1 .

f ' 1 = 2 1 = 2

Assim, φ é o ângulo entre 0 e π / 2 cuja tangente é 2, ou seja,

ϕ = tan - 1 ⁡ ( 2 ) ≈ 63 °

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

ϕ ≈ 63 °

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5- Determine uma reta que seja paralela a x + y = 1 e que seja tangente à curva x 2 + x y + y 2 = 3 .
6- Determine uma reta que seja tangente à elipse x 2 + 2 y 2 = 9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9 4 .
7- Mostre que a reta x x 0 + y y 0 = 2 é tangente à curva ( x x 0 ) 3 + ( y y 0 ) 3 = 2 no ponto ( x 0 , y 0 ) .
8- Determine uma reta paralela à reta x + y = 1 e tangente à curva x 3 + x y + y 3 = 0 em um ponto ( x 0 , y 0 ) , com x 00 e y 00 .
Ache uma equação da reta tangente à curva y = e - x que é perpendicular à reta 2 x - y = 5 .