Enunciado

Encontre todos os pontos sobre o gráfico da função

f x = 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x

nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar todos os pontos sobre o gráfico da seguinte função nos quais a reta tangente é horizontal:

f x = 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x

Bom... Para a reta tangente ser horizontal temos a condição que:

f ' x = 0

Então vamos calcular a derivada de f ( x ) e igualar a expressão a 0 , assim vamos encontrar todos os pontos, vamos lá.

Passo 2

Vamos usar algumas regras, temos logo de primeira a da soma:

f x + g x ' = f ' x + g ' ( x )

Aplicando, temos que:

f ' x = 2 sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x ' ∴

f ' x = 2 sen ⁡ x ' + sen 2 ⁡ x '

Agora vamos resolver as duas separadamente e depois é só voltar na expressão e substituir os valores que acharmos, vai ser simples!!

Passo 3

Na primeira derivada vamos usar a regra da multiplicação por constante e da função trigonométrica seno:

Da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Da função trigonométrica seno:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Vamos aplicar!!

2 sen ⁡ x ' = 2 sen ⁡ x ' ∴

2 sen ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x

Passo 4

Na segunda vamos utilizar além da regra da função trigonométrica seno, a regra da cadeia:

F ' x = f ' g x . g ' x

Vamos lá então:

sen 2 ⁡ x ' = 2 sen 2 - 1 ⁡ x sen ⁡ x ' ∴

sen 2 ⁡ x ' = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 5

Pronto, agora é só substituir tudo de volta, como eu falei:

f ' x = 2 sen ⁡ x ' + sen 2 ⁡ x ' ∴

f ' x = 2 cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ∴

f ' x = 2 cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x

Passo 6

Por último é só igualar a expressão de f ' ( x ) que achamos a 0 :

2 cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x = 0 ↔ cos ⁡ x = 0 ou sen ⁡ x = - 1

Temos então que:

x = π 2 + 2 n π ou x = 3 π 2 + 2 n π

para qualquer inteiro n .

Escolhendo n = 0 para achar o valor da função em f , temos:

f π 2 = 2 sen ⁡ π 2 + sen 2 ⁡ π 2 ∴

f π 2 = 2.1 + 1 2 ∴

f π 2 = 3

E

f 3 π 2 = 2 sen ⁡ 3 π 2 + sen 2 ⁡ 3 π 2 ∴

f 3 π 2 = 2 - 1 + - 1 2 ∴

f 3 π 2 = - 2 + 1 ∴

f 3 π 2 = - 1

Assim, os pontos são:

π 2 + 2 n π ,   3 e 3 π 2 + 2 n π , - 1

Para qualquer valor n inteiro.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

π 2 + 2 n π ,   3 e 3 π 2 + 2 n π , - 1

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