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Nos exercícios de 39 a 42, uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, em t s. (a) Qual será a velocidade da partícula em t s? (b) Ache a velocidade instantânea da partícula em t s para cada valor dado de t1.

39. s = t 2 - 1 2 t 2 + 1 2 , t ≥ 0 ;   t 1 é   1 ,   2

Passo 1

A questão nos dá a função de como a partícula se move sobre uma reta à medida que o tempo passa:

s = t 2 - 1 2 t 2 + 1 2

E a letra (a) pede para a gente calcular a velocidade da partícula. Podemos interpretar a velocidade como uma taxa de deslocamento da partícula, então precisaremos fazer a derivada de s para obtermos essa taxa.

Passo 2

Para fazer a derivada vamos aplicar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Na função s, ela fica dessa maneira:

s ' t = d d t t 2 - 1 2 t 2 + 1 2 - t 2 - 1 2 d d t t 2 + 1 2 t 2 + 1 4

Passo 3

Agora resolvemos as derivadas que apareceram no nosso último resultado. A primeira é:

d d t t 2 - 1 2

Aplicamos a Regra da Cadeia primeiro, e resolvemos a derivada da função de fora:

d d x x 2 = 2 x

Agora substituímos x pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa função:

2 t 2 - 1 d d x t 2 - 1

Resolvendo essa última derivada e o produto:

4 t ( t 2 - 1 )

Vamos resolver a segunda derivada que apareceu no Passo 2:

d d t t 2 + 1 2

Aplicamos a Regra da Cadeia, fazemos a derivada da função de fora, substituímos o que está dentro pela função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

d d t t 2 + 1 2 = 2 t 2 + 1 d d t t 2 + 1 = 4 t t 2 + 1

Passo 4

Com o resultado das duas derivadas, podemos resolver a derivada da função s:

s ' t = d d t t 2 - 1 2 t 2 + 1 2 - t 2 - 1 2 d d t t 2 + 1 2 t 2 + 1 4

s ' t = 4 t 2 - 1 t 2 + 1 2 - t 2 - 1 2 4 t t 2 + 1 t 2 + 1 4

Simplificando:

v = s ' t = 8 t ( t 2 - 1 ) t 2 + 1 3

Essa é nossa equação da velocidade.

Passo 5

Com o resultado da letra (a), devemos substituir os valores dados de t1 para obtermos cada velocidade instantânea da letra (b),

Para t 1 = 1 :

s ' 1 = 8.1 ( 1 2 - 1 ) 1 2 + 1 3 = 0   c m / s

Para t 1 = 2 :

s ' 2 = 8.2 ( 2 2 - 1 ) 2 2 + 1 3 = 48 625 ≅ 0,08   c m / s

Resposta

  1. v = 8 t ( t 2 - 1 ) t 2 + 1 3
  2. Para t 1 = 1 → v = 0 c m / s  

Para t 1 = 2 → v = 0,08 c m / s  

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