Enunciado

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

36) f x = s e n 2 ( c o s 2 x )

Passo 1

Nesse caso vamos aplicar várias vezes a Regra da Cadeia, vamos começar pelo que está mais de fora, que é a potência 2:

d d t t 2 = 2 t

E então substituímos o t pela função de dentro, e multiplicamos pela derivada dessa função de dentro:

f ' x = 2 s e n ( c o s 2 x )   d d x 2 s e n ( c o s 2 x )

Passo 2

Agora resolvemos a derivada que sobrou, usando a Regra da Cadeia mais uma vez:

d d x 2 s e n ( c o s 2 x )

Fazendo primeiro a derivada da função de fora:

d d t s e n t = c o s t

Aí substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

f ' x = cos ⁡ c o s 2 x d d x c o s 2 x

Passo 3

E de novo, resolvemos a derivada que está faltando pela Regra da Cadeia:

d d x c o s 2 x

Fazemos a derivada da função de fora:

d d t c o s t = - s e n t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

- s e n 2 x d d x 2 x = - 2 s e n 2 x

Passo 4

E então vamos substituir esse valor no resultado anterior:

cos ⁡ c o s 2 x   . - 2 s e n 2 x

Reescrevendo:

- 2 s e n 2 x c o s ( c o s 2 x )

E colocamos esse valor no lugar da derivada que precisávamos resolver no Passo 1:

f ' x = 2 s e n c o s 2 x   .   - 2 s e n 2 x c o s ( c o s 2 x )

Simplificando:

f ' x = - 4 s e n c o s 2 x s e n 2 x c o s ( c o s 2 x )

Resposta

f ' x = - 4 s e n c o s 2 x s e n 2 x c o s ( c o s 2 x )

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