Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

31. f x = 2 x + 9   s e   x ≤ - 2 x 2 + 1   s e - 2 < x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x ≤ - 2 temos:

f x = 2 x + 9

f ' x = 2

Para x > - 2 temos:

f x = x 2 + 1  

f ' x = 2 x

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Podemos ver que nossa derivada para x ≤ - 2 deu uma constante, logo f ' ( x ) para x ≤ - 2 nunca é igual a 0.

Como a descontinuidade de f ' x acontece em x = - 2 , logo esse ponto é um ponto crítico de f .

Para x > - 2 :

2 x = 0

⇒ x = 0

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 2 e x = 0 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para x ≤ - 2 , nossa função é:

f x = 2 x + 9

f - 2 = 2 - 2 + 9

= 5

Para x > - 2 , nossa função é:

f x = x 2 + 1

f 0 = 0 2 + 1

= 1

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 2   s e   x ≤ - 2 2 x   s e - 2 < x

Vemos que para:

x ≤ - 2 → f ' x > 0

- 2 < x < 0 → f ' x < 0

0 < x → f ' x > 0

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f - 2 = 5 e f 0 = 1 são extremos relativos.
  2. Em x = - 2 e em x = 0 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em ( - ∞ , - 2 ] , [ 0 , + ∞ ) .
  4. f ( x ) é decrescente em [ - 2,0 ] .
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