Enunciado

Seja f x = x - 1 x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Podemos escrever f da forma:

f x = x - 1 x   = x 1 2 - x - 1 2

Observe que f não existe em x = 0 . E como f   apresenta uma raiz de ordem par, temos que f só existe para x > 0 . Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 1 2 . x 1 2 - 1 - - 1 2 . x - 1 2 - 1 ⇒

f ' x = 1 2 . x - 1 2 + 1 2 . x - 3 2 ⇒

f ' x = 1 2 x + 1 2 x 3

Note agora que f ' ( x ) não admite solução para valores da forma x ≤ 0 . Observe também que não é possível fazer o estudo dos pontos críticos de f , visto que f ' x ≠ 0 , para todo x real.

Passo 2

Como f não possui pontos críticos, não há a possibilidade de extremos relativos, porém é possível estudar se é f crescente ou decrescente no ponto de descontinuidade x = 0 . Assim:

→ x > 0 :

f ' x > 0 e f é crescente.

É possível observar um comportamento assintótico em relação ao eixo das ordenadas para o ponto escolhido.

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x + 1 x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x - 1 x é crescente no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) , não admite extremos relativos e possui comportamento assintótico para x = 0 .

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