Responde Aí

Enunciado

Nos Exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

51.

y = x x 2 + 1 x + 1 2 / 3

Passo 1

Esse método é bem simples de ser usado, só precisamos aplicar o logaritimo dos dois lado da equação e ir usando suas propriedades para encontrarmos termos mais fáceis de derivar. Então vamo lá:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x 2 + 1 x + 1 2 3

Quando o que está dentro do logaritimo esta dividindo podemos separar como sendo o ln do numerador menos o ln do denominador, dessa forma:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x 2 + 1 - ln ⁡ x + 1 2 3

Da mesma forma a multiplicação ira se transformar em uma soma e quando temos um expoente ele vai passar multiplicando o ln. Vamos ficar com a expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 + 1 - 2 3 ln ⁡ x + 1

Podemos usar mais uma vez a regra do expoente:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 2 3 ln ⁡ x + 1

Passo 2

Show, agora é só derivar dos dois lados:

d d x ln ⁡ y = d d x ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 2 3 ln ⁡ x + 1

Vamos usar a regra da cadeia nesses ln’s:

1 y ⋅ d y d x = 1 x + 1 2 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x + 0 - 2 3 1 x + 1 ⋅ 1 + 0

d y d x = y 1 x + x x 2 + 1 - 2 3 x + 3

Agora vamos substituir y

d y d x = x x 2 + 1 x + 1 2 3 ⋅ 1 x + x x 2 + 1 - 2 3 x + 3

Resposta

d y d x = x x 2 + 1 x + 1 2 3 ⋅ 1 x + x x 2 + 1 - 2 3 x + 3

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