Enunciado

Nos Exercícios 5-10, determine uma equação para a tangente à curva em um ponto dado. Em seguida, esboce a curva e a tangente em um único gráfico.

y = x 3 ,           ( - 2 , - 8 )

Passo 1

Relembrando a equação da reta tangente :

y - f a = m x - a

Nesse caso,

y + 8 = m x + 2

Assim, precisamos determinar o m , que é o coeficiente angular da curva no ponto dado. Para isso, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

A primeira coisa a ser feita é substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Em seguida, vamos substituir na equação anterior o valor de x = - 2 .

m = lim h → 0 ⁡ - 2 + h 3 - - 2 3 h

Passo 3

Agora precisamos abrir o termo - 2 + h 3 . Lembrando que - 2 + h 3 = - 2 3 + 3 - 2 2 h + 3 - 2 h 2 + h 3 :

m = lim h → 0 ⁡ - 8 + 12 h - 6 h 2 + h 3 + 8 h

m = lim h → 0 ⁡ 12 h - 6 h 2 + h 3 h

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 12 - 6 h + h 2 = 12

Passo 5

Lembra da equação da tangente que definimos lá em cima, agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y + 8 = m x + 2

y + 8 = 12 x + 2

Reescrevendo a equação:

y = 12 x + 16

Passo 6

Por fim, vamos desenhar a curva e a tangente encontrada.

Resposta

y = 12 x + 16

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