Enunciado

Nos exercícios 55 e 56, ache as assíntotas horizontais e verticais e trace um esboçodo gráfico da equação.

55)   x y - 3 x + 4 y = 0

Passo 1

O primeiro para será isolar y na equação dada:

x y - 3 x + 4 y = 0

x y + 4 y = 3 x

y . x + 4 = 3 x

y = 3 x x + 4

Passo 2

As assíntotas horizontais são obtidas quando fazemos x tender a mais infinito e a menos infinito.

Lembrando que, limites de funções polinomiais quando x tende a infinito, tomamos o termo dominante no numerador e no denominador.

lim x → ∞ ⁡ 3 x x + 4 = 3

lim x → - ∞ ⁡ 3 x x + 4 = 3

Portanto, teremos uma assíntota horizontal em y   =   3 .

Passo 3

As assíntotas verticais são obtidas calculando os limites laterais nas restrições do domínio da função.

O domínio da função é:

x + 4 ≠ 0

x ≠ - 4

Calcularemos os limites a direita e esquerda do -4:

lim x → - 4 + ⁡ 3 x x + 4 = c o n s t a n t e n °   p e q u e n o - = - ∞

lim x → - 4 - ⁡ 3 x x + 4 = c o n s t a n t e n °   p e q u e n o + = + ∞

Portanto, teremos uma assíntota vertical em x =   - 4 .

Passo 4

O gráfico da função f x = 3 x x + 4   será:

Resposta

Assíntota vertical: x = - 4

Assíntota horizontal: y = 3

Gráfico da função:

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