Enunciado

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:

f x ,   y ,   z = cos ⁡ x + s e n   y ; P 0 ( x ,   y ,   z )

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então vamos começar o trabalho calculando as derivadas parciais.

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y ,   z = cos ⁡ x + s e n   y

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = - s e n   x

∂ f ∂ y = cos ⁡ y

∂ f ∂ z = 0

Assim,

∇ f → = - s e n   x   i → + cos ⁡ y j → + 0 k →

Passo 3

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto P 0 na expressão e calcular o módulo, e aí acabou.

∇ f → P 0 = ∇ f → x ,   y ,   z = - s e n   x   i → + cos ⁡ y j →

O valor do gradiente nesse ponto é:

∇ f → P 0 = - s e n   x 2 + cos ⁡ y 2

∇ f → P 0 = s e n 2 x + cos 2 ⁡ y

Esse é o módulo máximo da derivada direcional!

Resposta

∇ f → P 0 = s e n 2 x + cos 2 ⁡ y

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