Enunciado

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = e sen ⁡ t ( ln ⁡ t 2 + 1 )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Aqui primeiro vamos usar a regra do produto!

Passo 2

Vamos usar a regra do produto pois temos um produto entre f t = e sen ⁡ t e g t = ( ln ⁡ t 2 + 1 ) . Assim, pela regra do produto

e sen ⁡ t ( ln ⁡ t 2 + 1 ) ' = f ' t ⋅ g t + f t ⋅ g ' t

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada é a composta de h t = e t com w t = sen ⁡ t . Então precisamos usar a regra da cadeia da seguinte forma:

f ' t = e sen ⁡ t ' = h ' w t ⋅ w ' t

Agora tanto a derivada de h quanto de w estão na tabela e valem:

h ' t = e t

w ' t = cos ⁡ t

Logo,

e sen ⁡ t ' = cos ⁡ t e sen ⁡ t

Passo 4

A derivada do segundo termo fica

g ' t = ln ⁡ t 2 ' + 1 ' = ln ⁡ t 2 ' + 0 = ( ln ⁡ t 2 ) '

Para derivar o log vamos usar a regra da cadeia pois é a composta de s t = ln ⁡ t com l t = t 2 . Logo,

ln ⁡ t 2 ' = s ' l t ⋅ l ' ( t )

Consultando a tabela temos que

s ' t = 1 t

l ' t = 2 t

Assim,

ln ⁡ t 2 ' = 1 t 2 2 t = 2 t

Logo

g ' t = 2 t

Passo 5

Juntando tudo temos que

y ' = cos ⁡ t e sen ⁡ t ⋅ ln ⁡ t 2 + 1 + 2 t ⋅ e sen ⁡ t

Resposta

y ' = cos ⁡ t e sen ⁡ t ⋅ ln ⁡ t 2 + 1 + 2 t ⋅ e sen ⁡ t

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