Enunciado

Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.

62. f x = - | x | em a. - 1 ,   0 , b. [ 0 ,   1 ] e c. [ - 1 ,   1 ] .

Passo 1

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

E para calcularmos o valor dessa integral, assim como discutido nessa mesma seção, basta lembrarmos das seguintes integrais:

∫ a b x d x = b ² 2 - a 2 2 ,   a < b

∫ a b c d x = c b - a

∫ a b x ² d x = b ³ 3 - a 3 3 ,   a < b

Passo 2

a) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ - 1 ,   0 ] , teremos o seguinte:

Passo 3

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 0 - ( - 1 ) ∫ - 1 0 - ( - x ) d x

∴ M é d i a   f = 0 2 2 - - 1 2 2 = - 1 2

Passo 4

b) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ 0 ,   1 ] , teremos o seguinte:

Passo 5

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 1 - 0 ∫ 0 1 - x d x

∴ M é d i a   f = - 1 2 2 - 0 2 2 = - 1 2

Passo 6

c) Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão [ - 1 ,   1 ] , teremos o seguinte:

É importante notar que esse gráfico, nesse intervalo específico, é a junção dos gráficos de a) e b).

Passo 7

Calculando o valor médio, teremos:

M é d i a   f = 1 1 - ( - 1 ) ∫ - 1 1 - | x | d x

Podemos reescrever essa média com intervalos conhecidos, galera. Se liga:

M é d i a   f = 1 2 ∫ - 1 0 - ( - x ) d x + 1 2 ∫ 0 1 - x d x

Como já calculamos os valores das integrais nas questões anteriores, basta substituirmos os valores que já encontramos:

M é d i a   f = 1 2 . - 1 2 - 1 2 = - 1 2

Resposta

M é d i a   f = - 1 2

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