Enunciado

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

Passo 1

Uma propriedade das integrais nos diz que se temos duas funções, f e g , e que f x ≥ g x , temos que:

∫ a b f x   d x ≥ ∫ a b g x   d x

Se tomarmos x 4 + 1 como f x , e g x = x 4 = x 2 , temos:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ ∫ 1 3 x 2   d x

Passo 2

Como ∫ 1 3 x 2   d x é dada por:

∫ 1 3 x 2   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + 2 i n 2 n   =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 2 i n 2 2 n   = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + 8 i n 2 + 8 i 2 n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + ∑ i = 1 n 8 i n 2 + ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 8 i   n 2 n n + 1 2 + 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 n + 1   n + 4 2 n 2 + 3 n + 1 3 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 = 26 3

∫ 1 3 x 2   d x = 26 3

Então:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

A desigualdade é demonstrada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2 . Se
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o