Enunciado

Nos exercícios de 57 a 62, faça um esboço do gráfico da função; então, observando as quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre, em cada caso de descontinuidade, por que a Definição 2,6,1 não é satisfeita.

58)   f x = x 4 - 1 x 2 - 1

Passo 1

As assíntotas horizontais são obtidas quando fazemos x tender a mais infinito e a menos infinito.

Lembrando que, limites de funções polinomiais quando x tende a infinito, tomamos o termo dominante no numerador e no denominador.

lim x → ∞ ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x 2 - 1 . x 2 + 1 x 2 - 1 = x 2 + 1 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x + 2 x + 2 . ( x - 1 ) = x 2 + 1 = 0

Portanto, teremos uma assíntota horizontal em y   =   0 .

Passo 2

As assíntotas verticais são obtidas calculando os limites laterais nas restrições do domínio da função.

O domínio da função é:

x 2 - 1   ≠ 0

x ≠ ± 1

Calcularemos os limites a direita e esquerda do 1 e do -2:

lim x → - 1 + ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x 2 + 1 = 2

lim x → - 1 - ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x 2 + 1 = 2

lim x → 1 + ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x 2 + 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = x 2 + 1 = 2

Portanto, teremos “bolinha aberta” em x = 1   e   x = - 1 .

Passo 3

O gráfico da função x 4 - 1 x 2 - 1 será:

Passo 4

Agora vamos verificar as condições da Definição 2.6.1

  1. f ( 1 )   e   f ( - 1 ) não existem

Portanto, como uma das condições não foram verificadas, a função é descontinua em 1 e em -1.

Resposta

Gráfico da função:

A função é descontínua em x = - 1   e   x = 1

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