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Se a função g for contínua num número a e a função f for descotínua em a , é possível que o quociente das duas funções   f / g seja contínuo em a ? Prove sua resposta.

Passo 1

Como queremos provar que se a função g for contínua num número a e a função f for descotínua em a , é possível que o quociente das duas funções   f / g não é contínuo em a . Primeiramente devemos saber o que é necessário provar que qualquer função seja contínua num número a , se e somente se os três requisitos apresentados abaixo forem satisfeitos a função é chamada contínua.

f ( a ) está definida;

lim x → a ⁡ f ( x ) existir;

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Passo 2

Como o enunciado afirma que f é descontínua em a , então concluímos que falhou em algum dos três testes.

Passo 3

Se queremos provar que f / g também é descontínuo em a , devemos organizar está função de forma que as falhas de f se apresentem nessa função. Para isso vamos dizer que f / g   = f ∙ 1 g . E aplicando o Teorema de Limite 6 temos que

lim x → a ⁡ f ∙ 1 g = lim x → a ⁡ f ∙ lim x → a ⁡ 1 g = f ( a ) ∙ 1 g ( a )

Tendo aplicado Teorema de Limite 6 vimos que fazendo os teste para f / g podemos usar os mesmos valores encontrados para somente o f multiplicado com os encontrados separadamente para 1 g . Como f   falhou nos seus testes então f / g falhará nesses mesmos testes, e portanto f / g   é descontínua em a .

Resposta

Não é possível.

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