Enunciado

Dado uma função f e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x ) > 0 para todo x ≠ c no intervalo.

f x = x - 1 x - 1 ;   c = 1

Passo 1

  1. Por se tratar de uma indeterminação vamos aplicar uma manipulação no limite de forma a não alterar o seu resultado.

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 =   lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1   ∙ x + 1 x + 1

=   lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1   ∙ 1 x + 1

=   lim x → 1 ⁡ 1 x + 1  

1 1 + 1

= 1 2 > 0

Passo 2

b) Aplicando o caso 1 temos que

x - 1 > 0   e   x - 1 > 0

x > 1   e   x > 1

Se levarmos em conta quando x = 0

0 - 1 0 - 1

- 1 - 1

1 > 0

Assim o conjunto solução é 0 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 = 1 2 > 0

b)

O conjunto solução é 0 ,   + ∞

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