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Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

55 . ∫ s e n - 1 2 t 1 - 2 t d t

Passo 1

Lembramos que:

s e n - 1 2 t = a r c s e n   2 t

Passo 2

Para resolver essa integral precisamos resolvê-la por partes.

∫ f   g ' d x = f ⋅ g - ∫ f ' g   d x

Onde:

f = a r c s e n   2 t           g ' = 1 - 2 t - 1 2

f ' = 1 2 t - 4 t 2           g = - 1 - 2 t 1 2

Passo 3

Assim nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ s e n - 1 2 t 1 - 2 t d t = - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t - ∫ - 1 - 2 t 1 2 2 t - 4 t 2 d t

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + ∫ 1 - 2 t 2 t - 4 t 2 d t

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + ∫ 1 - 2 t 2 t ( 1 - 2 t ) d t

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + ∫ 1 2 t d t

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + 1 2 ∫ 1 t d t

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + 1 2 ⋅ 2 t 1 2

= - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + 2 t

Resposta

∫ s e n - 1 2 t 1 - 2 t d t = - 1 - 2 t 1 2 a r c s e n   2 t + 2 t + c

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