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Nos exercícios de 63 a 68, defina f   ο   g e determine os números nos quais f   ο   g é contínua.

67) f x = s g n   x ; g x = x 2 - 1

Passo 1

Nós queremos obter a função composta f   o   g = f ( g x ) . Para isso substituiremos a função g ( x ) na função f ( x ) .

Mas antes é preciso recordar a função s g n   x :

s g n   x = - 1 ,   s e   x < 0 0 ,   s e   x = 0 1 ,   s e   x > 0

f g x = g ( x )

f g x = - 1 ,   s e   x 2 - 1 < 0 0 ,   s e   x 2 - 1 = 0 1 ,   s e   x 2 - 1 > 0

Isolando x nas condições, temos:

f g x = 1 ,                   s e   x < - 1 0 ,                 s e   x =   - 1 - 1 ,   s e - 1 < x < 1 0 ,                           s e   x = 1 1 ,                           s e   x > 1

Passo 2

Agora precisamos determinar os números para os quais f g x   é contínua.

Para isso calcularemos os limites laterais para os pontos limítrofes ( x = - 1   e   x = 1 ) das condições:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = - 1

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = - 1

lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = 1

Portanto a função é descontínua em x = - 1   e   e m   x = 1 .

Portanto a função é contínua no intervalo - ∞ , - 1   ∪   - 1,1   ∪   1 , ∞ .

Resposta

f o g = f g x = 1 ,                   s e   x < - 1 0 ,                 s e   x =   - 1 - 1 ,   s e - 1 < x < 1 0 ,                           s e   x = 1 1 ,                           s e   x > 1

A função é contínua no intervalo: - ∞ , - 1   ∪   - 1,1   ∪   1 , ∞

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