Enunciado

Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.

f x = x 3 - 8 x - 2     s e   x ≠ 2 L                 s e   x = 2 em p = 2

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor de L que tá faltando ali na função f ( x ) , definida por partes.

Então, pessoal, o que a gente tem que fazer aqui é lembrar que para a função f ser contínua no ponto p = 2 , o limite dela nesse ponto tem que ser igual ao valor da função nesse mesmo ponto, ou seja:

lim x → 2 ⁡ f x = f 2

Só que ele deu pra gente o valor da função nesse ponto!

f 2 = L

E então:

L = lim x → 2 ⁡ f x

A partir disso, basta a gente calcular o valor do limite e teremos o valor de L .

Vamos lá!

Passo 2

Então fechou! Agora é só a gente calcular o limite que vamos encontrar o valor de L ! Temos:

L = lim x → 2 ⁡ f x

L = lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x - 2

Essa parada aí vai ter uma indeterminação se a gente substituir x = 2 na função. Mas se a gente fatorar vamos sumir com a indeterminação.

O numerador da fração é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:

x 3 - 8 = ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )

Beleza, vamos substituir essa expressão no nosso limite:

L = lim x → 2 ⁡ x - 2 x 2 + 2 x + 4 x - 2

= lim x → 2 ⁡ x 2 + 2 x + 4

Agora é só trocar o x por 2 e teremos:

L = 2 2 + 2 2 + 4

L = 12

Portanto, nossa função fica:

f x = x 3 - 8 x - 2     s e   x ≠ 2 12                 s e   x = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 12

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Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, exceto em x = 3 e é contínua à esquerda em 3 .
Escreva uma equação que expresse o fato de que um função f é contínua no número 4 .
a) Do gráfico de f , explique os pontos em que f é descontínua e explique por quê.b) Para cada um dos pontos indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.