Enunciado

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

6 7 . ∫ 0 2 t 3 d t 4 + t 2

Passo 1

Nossa integral também pode ser vista da forma:

∫ 0 2 t 2 4 + t 2   t d t

Antes de começarmos a integrar vamos fazer uma substituição simples na nossa integral para facilitar:

u = t 2 ⇒ d u =   2 t d t

Como u = t 2 , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

u = t 2 quando t = 0 , u = 0

u = t 2 quando t = 2 , u = 4

Então, nossa integral ficará:

1 2 ∫ 0 4 u 4 + u d u

Passo 2

Vamos fazer mais uma substituição simples a fim de simplificar ainda mais a integral:

v = u + 4 ⇒ d v = d u

Como v = u + 4 , vamos mudar os nossos limites de integração para se adequarem a nova variável, assim não precisaremos voltar para variável inicial:

v = u + 4 quando u = 0 , v = 4

v = u + 4 quando u = 4 , v = 8

Então, nossa integral ficará:

1 2 ∫ 4 8 v - 4 v d v

Passo 3

Olhando bem e analisando a função dentro da integral pode ver que:

v - 4 v =   v - 4 v

Então vamos escrever a nossa integral nesse formato e integrar.

Passo 4

Integrando:

1 2 ∫ 4 8 v - 4 v d v = 1 2 ∫ 4 8 v   d v - 1 2 ∫ 4 8 4 v d v    

= 1 2 ∫ 4 8 v 1 2   d v - 2 ∫ 4 8 v - 1 2 d v

= 1 2 ⋅ 2 v 3 2 3 - 2 ⋅ 2 v 1 2 4 8

= 8 3 3 -   4 3 3 - 4 8 - 4 4 = 8 3 2 2 - 1 - 8 2 + 8

Resposta

∫ 0 2 t 3 d t 4 + t 2 =   - 8 3 2 - 2

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