Enunciado

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ x 2 + 3 x + 3 d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Bom, pra começar, vamos ajeitar um pouquinho. Concorda comigo que o termo dentro da raiz é quase um quadrado perfeito? Ó só:

x 2 + 3 x + 3 = x + 3 2 2 + 3 4

Beleza, então vamos ficar com:

I = x 2 + 3 x + 3 d x = x + 3 2 2 + 3 4 d x

O macete pra quando tiver uma parada ao quadrado, mais um outro termo constante, é substituir esse termo em x por um múltiplo de uma tangente, de forma que os coeficientes fiquem iguais, assim:

x + 3 2 = k t g ( t )

Então:

k 2 = 3 4 → k = 3 2 t g ( t )

Então, derivando:

d x = 3 2 sec 2 ⁡ t d t

Passo 2

Substituindo lá:

I = x + 3 2 2 + 3 4 d x

I = 3 4 t g 2 t + 3 4 3 2 sec 2 ⁡ t d t

Ajeitando o termo de dentro da raiz:

I = 3 2 t g 2 t + 1 3 2 sec 2 ⁡ ( t ) d t  

Arrumando a casa e tirando a raiz, já que t g 2 t + 1 = sec 2 ⁡ ( t ) :

I = 3 4 sec 3 ⁡ ( t ) d t

Prontinho, sumimos com a raiz!

Resposta

x = 3 2 t g t - 3 2

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