Enunciado

Nos Exercícios 77 e 78, ache uma solução da equação diferencial, que satisfaça a condição dada.

78. x   d y d x + y = e x ; y = 1 quando x = ln ⁡ 2

Passo 1

Para começar a resolver a equação, vamos dar uma mexida nela primeiro, assim:

x   d y d x + y = e x ⇒ d y d x + y x = e x x

Assim podemos ver que a equação é do tipo:

d y d x + P x y = Q ( x )

Onde:

P x = 1 x           e           Q x = e x x

Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.

Passo 2

Começamos achando o fator de integração.

Como P x = 1 x , um fator de integração é:

e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Passo 3

Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:

x d y d x + y = e x

⇒ d d x x y = e x

Integrando os dois lados, temos:

∫ d d x x y d x = ∫ e x

⇒ x y = e x + C

y = e x x + C x

Passo 4

Para achar o valor de C basta usar as condições iniciais y = 1 quando x = ln ⁡ 2 .

1 = e ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + C ln ⁡ 2  

⇒ ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2 + C

⇒ C = ln ⁡ 2 - 2

Resposta

A solução completa a equação é:

y = e x + ln ⁡ 2 - 2 x

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