Enunciado

Nos exercícios de 1 a 24, ache a derivada da função dada.

1 2 .   f x = l o g a   [ l o g a l o g a   x ]

Passo 1

A grande sacada dessa derivação é o teorema 7.6.5 que nos diz:

log a ⁡ u ' = 1 u ln ⁡ a ( u ) '

Com ele, temos tudo então é só derivar como já estamos acostumados, mas essa questão exige muita atenção pois derivaremos através da regra da cadeia, ou seja, muito termos parecidos aparecerão.

Passo 2

f ' x = [ l o g a   [ l o g a l o g a   x ] ] ' ⋅   [ l o g a l o g a   x ] ' ⋅ l o g a   x '

Aplicando a regra da cadeia podemos ver como teremos que derivar para obter o resultado, mas apenas sairmos derivando vamos encontrar uma solução difícil de ser visualizada então vamos dividir essa derivação em 3 termos:

Termo 1 - [ l o g a   [ l o g a l o g a   x ] ] '

Termo 2 - [ l o g a l o g a   x ] '

Termo 3 - l o g a   x '

Agora é só derivar cada um e unir tudo na multiplicação no final.

Passo 3

Termo 1:

{ l o g a   [ l o g a l o g a   x ] } ' =   1   l o g a l o g a   x ln ⁡ a ⋅ [ l o g a l o g a   x ] '  

=   1   [ l o g a l o g a   x ] ln ⁡ a ⋅ 1   l o g a   x ln ⁡ a   l o g a   x '  

=   1   [ l o g a l o g a   x ] ln ⁡ a ⋅ 1   l o g a   x ln ⁡ a   ⋅ 1   x   ln ⁡ a ⋅ x '

=   1   ( ln ⁡ a ) ³ 1 x   l o g a   x l o g a l o g a   x  

Passo 4

Termo 2:

l o g a l o g a   x ' =   1   l o g a   x ln ⁡ a   l o g a   x '

= 1   l o g a   x ln ⁡ a   ⋅ 1   x   ln ⁡ a ⋅ x '

= 1   ( ln ⁡ a ) ² 1   x   l o g a   x

Passo 5

Termo 3:

l o g a   x ' = 1   x   ln ⁡ a ⋅ x '  

= 1   x   ln ⁡ a  

Passo 6

Agora vamos juntar tudo e ver o que dá:

f ' x = [ l o g a   [ l o g a l o g a   x ] ] ' ⋅   [ l o g a l o g a   x ] ' ⋅ l o g a   x '

= 1   ( ln ⁡ a ) ³ 1 x   l o g a   x l o g a l o g a   x ⋅ 1   ( ln ⁡ a ) ² 1   x   l o g a   x ⋅ 1   x   ln ⁡ a  

= 1   ( ln ⁡ a ) 6 1 x 3   l o g a   x 2 l o g a l o g a   x

Resposta

f ' x = 1   ( ln ⁡ a ) 6 1 x 3   l o g a   x 2 l o g a l o g a   x

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