Enunciado

Mostre que o resultado do exercício 48 é equivalente à fórmula ∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ | c o s s e c   x - c o t a n   x | + C .

Passo 1

O resultado do exercício 48 é

∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C

A questão pede para provarmos que esse resultado é análogo a

∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ c o s s e c   x - c o t a n   x + C

Assim, o que temos que provar na verdade é que

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = c o s s e c   x - c o t a n   x

Note que para isso, não precisamos fazer nenhuma integral, é uma relação puramente trigonométrica!

Passo 2

O enunciado dá a dica de usarmos o mesmo método do exercício 47, então vamos multiplicar o termo dentro da raiz tanto no numerador quanto no denominador por 1 - cos ⁡ x :

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ⋅ 1 - cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x = 1 - cos ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ x 2 s e n 2 x

Assim,

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos ⁡ x 2 s e n 2 x = 1 - cos ⁡ x s e n   x = 1 s e n   x - cos ⁡ x s e n   x

Passo 3

Usando as definições de cossecante ( c o s s e c   x = 1 / s e n   x ) e de cotangente ( c o t a n   x = cos ⁡ x / s e n   x ), temos que

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = c o s s e c   x - c o t a n   x

Assim,

∫ c o s s e c   x   d x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C = ln ⁡ c o s s e c   x - c o t a n   x + C

que é precisamente o que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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