Enunciado

Determine as derivadas das funções

r = 6 (sec (theta) - t g ( theta ))^(3 // 2)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( theta ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( theta ) tais que:

h (theta) = (f @ g) (theta) = f (g (theta))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d r // d theta , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d r)/(d theta) = h^' (theta) = f^' (g (theta)) * g ' ( theta )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( theta ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( theta ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( theta ) . Vejamos a nossa função dada:

r = 6 (sec (theta) - t g ( theta ))^(3 // 2)

O termo “mais interno” é sec (theta) - t g ( theta ) . Se fizermos u = g (theta) = sec (theta) - t g ( theta ) e substituirmos na função acima, obtemos:

r = 6 (u)^(3 // 2)

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f (u) = 6 (u)^(3 // 2)

g (theta) = sec (theta) - t g ( theta )

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d r // d theta . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f^' (u) = [6 (u)^(3 // 2)]^'

y^' = 6 * (3)/(2) u^(((3)/(2) - 1))

y^' = 9 u^(1 // 2) = 9 sqrt(u)

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( theta ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (theta) = [sec (theta) - t g ( theta )]^'

g^' (theta) = sec (theta) t g ( theta ) - sec^2 ( theta )

Passo 5

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( theta ) , isto é, obter f^' (g (theta)) . Para isto, basta substituir g (theta) = sec (theta) - t g ( theta ) em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f^' (g (theta)) = f^' (sec (theta) - t g ( theta )) = 9 sqrt(sec (theta) - t g ( theta ))

f^' (g (theta)) = 9 sqrt(sec (theta) - t g ( theta ))

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f^' (g (theta)) por g ' ( theta ) para obtermos a derivada d r // d theta . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d r)/(d theta) = 9 sqrt(sec (theta) - t g ( theta )) * ( sec (theta) t g ( theta ) - sec^2 ( theta ) )

Resposta

(d r)/(d theta) = 9 sqrt(sec (theta) - t g ( theta )) * ( sec (theta) t g ( theta ) - sec^2 ( theta ) )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 25 a 34, ache d y d x . 26. y = 1 + x - 1 - x
Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) . 34.sec (x + y) - sec (x - y) = 1
Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.23. D w s e n c o s 3 w - 3 c o s 2 2 w
Nos exercícios 25 a 34, ache d y d x . 25. 4 x 2 + 4 y 2 - y 3 = 0
Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) . 30.x^((2)/(3)) + y^((2)/(3)) = a^((2)/(3))