Determine as derivadas das funções

r = 6 \* (sec(theta) - tg(theta))^(3/2)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( θ ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( θ ) tais que:

h θ = f ∘ g θ = f g θ

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d r / d θ , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d r d θ = h ' θ = f ' g θ ⋅ g ' ( θ )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( θ ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( θ ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( θ ) . Vejamos a nossa função dada:

r = 6 sec ⁡ θ - t g ( θ ) 3 / 2

O termo “mais interno” é sec ⁡ θ - t g ( θ ) . Se fizermos u = g θ = sec ⁡ θ - t g ( θ ) e substituirmos na função acima, obtemos:

r = 6 u 3 / 2  

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = 6 u 3 / 2  

g θ = sec ⁡ θ - t g ( θ )

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d r / d θ . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = 6 u 3 / 2 '

y ' = 6 ⋅ 3 2 u 3 2 - 1

y ' = 9 u 1 / 2 = 9 u

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( θ ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' θ = sec ⁡ θ - t g ( θ ) '

g ' θ = sec ⁡ θ t g ( θ ) - sec 2 ⁡ ( θ )

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( θ ) , isto é, obter f ' g θ . Para isto, basta substituir g θ = sec ⁡ θ - t g ( θ ) em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g θ = f ' sec ⁡ θ - t g ( θ ) = 9 sec ⁡ θ - t g ( θ )

f ' g θ = 9 sec ⁡ θ - t g ( θ )

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g θ por g ' ( θ ) para obtermos a derivada d r / d θ . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d r d θ = 9 sec ⁡ θ - t g ( θ ) ⋅ ( sec ⁡ θ t g ( θ ) - sec 2 ⁡ ( θ ) )

Resposta

d r d θ = 9 sec ⁡ θ - t g ( θ ) ⋅ ( sec ⁡ θ t g ( θ ) - sec 2 ⁡ ( θ ) )

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