Enunciado

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.

15. f x ,   y ,   z = 2 x y + y z 2 + ln ⁡ z .

Passo 1

Então pessoal, calcular o gradiente de um campo escalar quando temos uma função bem definidinha, assim como é o nosso caso, é bem tranquilo, tá? Basta derivarmos parcialmente em relação a cada eixo e botar tudo numa soma, desse jeito aqui ó:

g r a d   f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Sendo assim, só precisamos encontrar essas derivadas e substituir em seus devidos lugares, ok? Então let’s go!

Passo 2

Para x a derivada parcial será:

∂ f ∂ x = 2 y

Para y a derivada parcial será:

∂ f ∂ y = 2 x + z 2

Para z a derivada parcial será:

∂ f ∂ z = 1 z

Dessa forma, nosso gradiente será:

g r a d   f = 2 y i → + 2 x + z 2 j → + 1 z k →

Resposta

g r a d   f = 2 y i → + 2 x + z 2 j → + 1 z k →

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Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:a) 2 x + 5 y + 3 z = 10 ; P 1,2 , - 2 3
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:c) 2 z = x 2 + y 2 ; P 1,1 , 1
Traçar as curvas de nível de f x , y = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 que passem pelos pontos 1,1 , 1 , - 2 e - 2 , - 1 . Traçar os vetores ∇ f 1,1 , ∇ f 1 , - 2 e∇ f - 2 , - 1 .
Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:b) z = 2 x 2 + y 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:j) f x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 = x 1 x 2 - x 1 x 3 + x 4 ; P 2 ,2 ,1 ,3