Enunciado

Nos exercícios 68 a 72, calcular a integral definida:

72. ∫ 6 7 d t t - 1 2 t - 1 2 - 9

Passo 1

Esta é uma integral cujo melhor método para resolver é o método da substituição trigonométrica.

Quando temos a presença do radical u 2 - a 2 , onde u representa o termo que contém a variável (no caso, t ) e a uma constante qualquer, a substituição, de tabela, é u = a ∙ sec ⁡ x .

Teremos:

u = t - 1 = 3 ∙ sec ⁡ x

d u = d t = 3 ∙ sec ⁡ x ∙ tan ⁡ x ∙ d x

Agora, substituímos esses termos dentro de nossa integral original, para começarmos finalmente a integração. Vamos ter:

∫ 6 7 3 ∙ sec ⁡ x ∙ tan ⁡ x ∙ d x 3 ∙ sec ⁡ x 2 3 ∙ sec ⁡ x 2 - 9

Passo 2

Começamos por simplificar o que for possível, e abrimos o termo interior ao radical:

∫ 6 7 tan ⁡ x ∙ d x 3 ∙ sec ⁡ x 9 ∙ ( sec ⁡ x ) 2 - 9

Substituímos tan ⁡ x e sec ⁡ x por suas definições a partir de seno e cosseno, para fazer mais uma simplificação:

∫ 6 7 sin ⁡ x cos ⁡ x ∙ d x 3 ∙ 1 cos ⁡ x 9 ∙ ( sec ⁡ x ) 2 - 9

∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x 3 ∙ 9 ∙ ( sec ⁡ x ) 2 - 9

Trabalhamos dentro do radical, pondo o 9 em evidência. Em seguida, retiramos ele do radical:

∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x 3 ∙ 9 ∙ ( ( sec ⁡ x ) 2 - 1 )

∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x 3 ∙ 3 ∙ ( ( sec ⁡ x ) 2 - 1 )

1 9 ∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x ( sec ⁡ x ) 2 - 1

Passo 3

Trabalhando ainda dentro do radical, vamos trocar ( sec ⁡ x ) 2 por ( tan ⁡ x ) 2 + 1 , pois esta é uma relação trigonométrica tabelada, que você deve dominar: ( sec ⁡ x ) 2 = ( tan ⁡ x ) 2 + 1 . Teremos:

1 9 ∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x ( ( tan ⁡ x ) 2 + 1 ) - 1

Trabalhamos esse novo termo:

1 9 ∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x ( tan ⁡ x ) 2

1 9 ∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x tan ⁡ x

Passamos tan ⁡ x para sin ⁡ x cos ⁡ x e fazemos a simplificação:

1 9 ∫ 6 7 sin ⁡ x ∙ d x sin ⁡ x cos ⁡ x

1 9 ∫ 6 7 1 cos ⁡ x ∙ d x

1 9 ∫ 6 7 sec ⁡ x ∙ d x

A integral de sec ⁡ x é de tabela, então teremos:

∴ 1 9 ∙ ln ⁡   sec ⁡ x + tan ⁡ x 6 7

Passo 4

Ainda precisamos retornar de x para t , nossa variável original.

Tínhamos que t - 1 = 3 ∙ sec ⁡ x . Logo, sec ⁡ x = ( t - 1 ) 3 . Precisamos ainda determinar tan ⁡ x em termos de t . Como?

Bem, veja o seguinte triângulo retângulo, em que o ângulo destacado seja t .

Já sabemos que sec ⁡ x = t - 1 3 . Logo, temos que cos ⁡ x = 3 t - 1 . Dessa forma, por Pitágoras, podemos facilmente completar nesse triângulo os valores de seus catetos e hipotenusa:

t - 1

( t - 1 ) 2 - 9

3

E assim, conseguimos determinar o valor da tan ⁡ x , cateto oposto sobre o cateto adjacente, que será tan ⁡ x = t - 1 2 - 9 3 .

Por fim, podemos dar nossa resposta em termos da variável t . Teremos:

∫ 6 7 d t t - 1 2 t - 1 2 - 9 = 1 9 ∙ ln ⁡   t - 1 + t - 1 2 - 9 3 6 7

Passo 5

Aplicando os limites de integração, teremos:

1 9 ∙ ln ⁡ 7 - 1 + 7 - 1 2 - 9 3 - ln ⁡ 6 - 1 + 6 - 1 2 - 9 3

1 9 ∙ ln ⁡ 6 + 26 3 - ln ⁡ 5 + 16 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos, unimos esses dois termos, tornando nossa resposta mais enxuta:

1 9 ∙ ln ⁡ 6 + 26 3 3

∴ ln ⁡ 6 + 26 9 9

Resposta

∴ ∫ 6 7 d t t - 1 2 t - 1 2 - 9 = ln ⁡ 6 + 26 9 9

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