Enunciado

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

62 . ∫ t g n x   s e c 4 x   d x

Passo 1

Pela identidade trigonométrica temos que:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

Então podemos modificar um pouco nossa integral para que ela fique:

∫ t g n x   s e c 4 x   d x =   ∫ t g n x   s e c 2 x   s e c 2 x   d x

= ∫ t g n x   ( 1 + t g 2 x )   s e c 2 x   d x

= ∫ ( t g n x + t g n + 2 x )   s e c 2 x   d x

Passo 2

Vamos usar a substituição simples para tornar a nossa integral mais fácil de ser resolvida:

u = t g   x ⇒ d u = sec 2 ⁡ x   d x

Nossa integral vai ficar:

∫ ( u n + u n + 2 )   d u

Passo 3

Integrando:

∫ u n d u +   ∫ u n + 2 d u = u n + 1 n + 1 + u n + 3 n + 3 + c

Agora vamos voltar para nossa variável inicial:

∫ t g n x   s e c 4 x   d x = ( t g   x ) n + 1 n + 1 + ( t g   x ) n + 3 n + 3 + c

Resposta

∫ t g n x   s e c 4 x   d x = ( t g   x ) n + 1 n + 1 + ( t g   x ) n + 3 n + 3 + c

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