Enunciado

Use qualquer método para encontrar a área da superfície gerada fazendo a curva girar em torno do eixo x .

y = 1 x ,     1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Para calcular essa área, podemos montar a fórmulinha:

A = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelos extremos de integração. O enunciado já disse o intervalo para a gente, então:

a = 1 ,     b = 4

A gente tem que:

f x = 1 x

Precisamos derivar, e depois elevar ao quadrado:

f ' x = - 1 x 2

f ' x 2 = 1 x 2 2

Nossa integral fica então com essa carinha:

A = 2 π ∫ 1 4 1 x 1 + 1 x 4 d x

Fazendo o mmc dentro das raízes, para fica bonito:

A = 2 π ∫ 1 4 1 x ( x 4 + 1 ) x 4 d x = 2 π ∫ 1 4 x 4 + 1 x 3 d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 93 da tabela de integrais:

∫ u 2 + a 2 u 2   d u = - u 2 + a 2 u + ln ⁡ u + u 2 + a 2 + C

Mas como? Para chegar numa integral parecida com essa, precisamos usar a substituição:

u = x 2

d u = 2 x   d x ∴ d u 2 x = d x

Nossos limites de integração ficam assim com essa substituição:

u 1 = 1 2 = 1

u 2 = 4 2 = 16

Aí nossa integral fica assim, considerando a = 1 e usando a fórmulinha:

A = π ∫ 1 16 u 2 + 1 u 2 d u = 2 π - u 2 + 1 u + ln ⁡ u + u 2 + 1 ​ 1 16

Fazendo essas continhas, temos que:

A = 9,4172

Prontinho!

Resposta

A = 9,4172

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcula a integral ∫ 0 π 2 2 - s e nθ 2 d θ
Calcula a integral ∫ xt g 2xd x
Calcula a integral ∫xs e n 3 xd x
Calcula a integral ∫ 0 π 6 1 + cos ⁡ 2 xd x
Calcule a integral ∫ t.s e n 2 t.d t