Enunciado

Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida:

41 ) ∫ s e c h ²   x . t g h 5   x .   d x

Passo 1

Bom, essa integral é meio assustadora, mas vamos conseguir resolver ela usando uma técnica bem prática.

Se repararmos na integral, vemos uma função sendo multiplicada pela sua derivada, então podemos chamar:

u = tgh ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = s e c h ²   x . d x

Então nós transformamos uma integral trigonométrica bem cabulosa em uma bem simples:

∫ s e c h ²   x . t g h 5   x .   d x = ∫ u 5 . d u

E agora calculamos pela regra da potência:

∫ u 5 . d u = u 6 6 + C

Achamos a resposta em função do u, mas nós queremos em função de x. Se substituirmos novamente:

u 6 6 = tgh 6 ⁡ x 6  

Resposta

∫ s e c h ²   x . t g h 5   x .   d x = tgh 6 ⁡ x 6 + C

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