Enunciado

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (26) ∫ cos ⁡ 3 x + 3 s e n ⁡ ( 3 x ) d x

Passo 1

Questão envolvendo trigonometria sempre dá um susto na gente, não é? Mas não precisamos criar pânico, elas acabam sendo bem tranquilas e legais de resolver. Vamos dar uma olhada na integral que nos fois dada:

f x =   ∫ cos ⁡ 3 x + 3 s e n ⁡ ( 3 x ) d x = ∫ c o s ⁡ ( 3 x ) s e n ( 3 x ) d x + ∫ 3 s e n ( 3 x )   d x

Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essas integrais de uma maneira mais amigável. Lááá trigonometria, a gente tira a seguinte relação:

csc ⁡ x = 1 s e n x

Assim, vamos substituir essa expressão na nossa integral:

f x = ∫ c o s ⁡ ( 3 x ) s e n ( 3 x ) d x + ∫ 3 c s c ⁡ ( 3 x )   d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral que compõe a f ( x ) separadamente. Seja h x = ∫ cos ⁡ 3 x s e n 3 x e g x = ∫ 3 csc ⁡ 3 x d x .

Para h ( x ) temos:

h x = ∫ cos ⁡ 3 x s e n 3 x  

Essa integral é mais simples de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Seja u = sen ⁡ 3 x → d u = 3 c o s 3 x d x → d u 3 = c o s 3 x d x .

h u = 1 3 ∫ d u u

Essa integral é tranquila para a gente resolver! Vambora descobrir o valor dela:

h u = 1 3 ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = s e n ( 3 x ) ,

h x = 1 3 ln ⁡ s e n 3 x + C

Passo 3

Para a g ( x ) temos:

g x = ∫ 3 csc ⁡ 3 x d x = 3 ∫ csc ⁡ x d x

Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) .

g x = ∫ c s c ⁡ ( 3 x ) ⋅ csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) d x = ∫ c s c ² 3 x - csc ⁡ 3 x c o t g 3 x csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) d x

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja u = csc ⁡ 3 x - c o t g 3 x → d u = 3 [ - csc ⁡ 3 x c o t g 3 x + c s c ² ( 3 x ) ] d x → d u / 3 = [ - csc ⁡ 3 x c o t g 3 x + c s c ² ( 3 x ) ] d x .

g u = 3 ∫ d u 3 u

Depois da substituição de variável podemos ver que ficou muito mais simples do que era! Agora é mole de resolver!

g u = 3 3 ln ⁡ u + C

Como no passo anterior, a gente começou em função de x , né? Logo, precisamos voltar pra ela! Como u = csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) , temos:

g x = 3 3 ln ⁡ csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) + C

Resposta

O resultado é:

∫ cos ⁡ 3 x + 3 s e n ⁡ ( 3 x ) d x = 1 3 ln ⁡ s e n ( 3 x ) + l n ⁡ | csc ⁡ 3 x - c o t g ( 3 x ) | + C

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