Calcule a integral.

∫ cos 4 ⁡ t   d t

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

É pedido que calculemos a integral indefinida do cosseno elevado à quarta.

∫ cos 4 ⁡ t   d t

Para isso, vamos quebrar cos 4 ⁡ t = cos 2 ⁡ t 2 . Além disso, lembrando do arco duplo:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - s e n 2 t = cos 2 ⁡ t - 1 - cos 2 ⁡ t

cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ t - 1

Assim,

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Veja só!

Passo 2

Desta forma, a integral fica

∫ cos 4 ⁡ t   d t = ∫ 1 + cos ⁡ 2 t 2 2 d t = 1 4 ∫ 1 + 2 cos ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t   d t

Por outro lado, aplicando o arco duplo novamente:

cos 2 ⁡ 2 t = 1 + cos ⁡ 4 t 2

Assim,

∫ cos 4 ⁡ t   d t = 1 4 ∫ 1 + 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 + 1 2 cos ⁡ 4 t d t

∫ cos 4 ⁡ t   d t = 1 4 ∫ 3 2 + 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 cos ⁡ 4 t   d t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Calculando a integral:

∫ cos 4 ⁡ t   d t = 1 4 3 2 t + s e n   2 t + 1 8 s e n   4 t + C

∫ cos 4 ⁡ t   d t = 3 8 t + 1 4 s e n   2 t + 1 32 s e n   4 t + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

3 8 t + 1 4 s e n   2 t + 1 32 s e n   4 t + C

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