Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, coloque num gráfico o ponto P dado e cada um dos seguintes pontos: a) O ponto Q, tal que a reta que passa por P e Q seja perpendicular ao eixo x e o divida ao meio. Dê as coordenadas de Q.

b) O ponto R, tal que a reta que passa por P e R seja perpendicular ao eixo y e o divida ao meio. Dê as coordenadas de R.

c) O ponto S, tal que o segmento que passa por P e por S seja dividido ao meio pela origem. Dê as coordenadas de S. d) O ponto T, tal que o segmento de reta que passa por P e T seja perpendicular e dividido pela reta que passa pela origem, formando um ângulo de 45◦ e dividindo o primeiro e o terceiro quadrantes. Dê as coordenadas de T.

1) P (1,-2)

Passo 1

  1. Observe que o ponto Q pedido é o simétrico de P em relação ao eixo x, portanto Q (1,2).
  2. Observe que o ponto R pedido é o simétrico de P em relação ao eixo y, portanto R (1,-2).
  3. Observe que o ponto S pedido é o simétrico de P em relação à origem, portanto S(-1,2).
  4. Observe que a reta que corta o primeiro e terceiro quadrantes formando 45◦ é a reta y = x

O ponto que queremos encontrar é o simétrico de P em relação a reta y = x . Vamos determinar a equação da reta que passa por P e seja perpendicular à reta y = x . Para isso precisamos que o coeficiente angular da reta seja m = - 1 , pois o produto das inclinações dessas retas será -1. Assim

( y - ( - 2 ) )   =   - 1 ( x - 1 ) ⇒

y + 2 =   - x + 1 ⇒

y = - x + 1 - 2 ⇒

y = - x - 1

Assim temos o seguinte esboço

Vamos agora encontrar o ponto O que é a interseção entre essas duas retas. Assim

x = - x - 1 ⇒

x + x = - 1 ⇒

2 x =   - 1 ⇒

x = - 1 2

Logo o ponto O, por pertencer a reta y = x , será O - 1 2 , - 1 2 .

Para finalizar, devemos encontra o ponto T de forma que o segmento PO tenha o mesmo tamanho do segmento OT, ou seja, O seja o ponto médio de PT. Assim, tomando T(x,y) genérico, temos

- 1 2 , - 1 2 = x + 1 2 , y + - 2 2

Montando o sistema temos

x + 1 2 =   - 1 2 ⇒

x + 1 =   - 1 ⇒

x =   - 1 - 1 ⇒

x = - 2

y + - 2 2 = - 1 2 ⇒

y - 2 = - 1 ⇒

y = - 1 + 2 ⇒

y = 1

Portando, o ponto será T(-2,1).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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