Enunciado

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

d z d t para z = f u ,   v ,   w , u = g t , v = h t , w = k t

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Sabendo disso, conseguimos fazer o nosso diagrama de árvore:

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia é:

d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t + ∂ z ∂ w d w d t

Até mais galerinha!

Resposta

d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t + ∂ z ∂ w d w d t

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ p para w = f x ,y ,z ,v , x = g p ,q , y = h p ,q , z = j p ,q , v = k p ,q
Assuma que w = f (t s^2 + (s)/(t)) e (del f)/(del x) (x , y) = x y e (del f)/(del y) (x , y) = (x^2)/(2) . Encontre (del w)/(del t) e (del w)/(del s) .
Curva no espaço. Seja w = x 2 e 2 y cos ⁡ 3 z . Encontre o valor de d w / d t no ponto 1 , ln ⁡ 2 ,0 na curva x = cos ⁡ t , y = ln ⁡ t + 2 , z = t .
Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se F x = ∫ a b g t ,x d t , então F ' x = ∫ a b g x t ,x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemo
Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se F x = ∫ a b g t ,x d t , então F ' x = ∫ a b g x t ,x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemo