Assuma que w = f(t \* s^2 + s/t) e ∂f/∂x (x, y) = xy e ∂f/∂y(x, y) = x^2 / 2 . Encontre ∂w/∂t e ∂w/∂s .

Passo 1

Oi pessoal, primeiramente, pelo enunciado conseguimos identificar que:

x = t s 2 y = s t      

Pelo nosso diagrama de árvore, temos:

E pela Regra da cadeia:

Passo 2

Como x = t s 2 , logo:

∂ x ∂ t = s 2 ∂ x ∂ s = 2 s t

E y = s / t :

∂ y ∂ t = - s t 2 ∂ y ∂ s = 1 t

Passo 3

Do enunciado, temos:

∂ w ∂ x = ∂ f ∂ x = x y = t s 2 ∙ s t

∂ w ∂ x = s 3

E para y :

∂ w ∂ y = ∂ f ∂ y = x 2 2 = t s 2 2 2

∂ w ∂ y = t 2 s 4 2

Passo 4

Substituindo nas equações, encontramos nossas derivadas:

∂ w ∂ t = s 3 ∙ s 2 + t 2 s 4 2 ∙ - s t 2

= s 5 - s 5 2 = 2 s 5 - s 5 2

∂ w ∂ t = s 5 2

∂ w ∂ s = s 3 ∙ 2 s t + t 2 s 4 2 ∙ 1 t

= 2 t s 4 + t s 4 2 = 4 t s 4 + t s 4 2

∂ w ∂ s = 5 t s 4 2

Resposta

∂ w ∂ t = s 5 2 , ∂ w ∂ s = 5 t s 4 2 .

Exercícios de Livros Relacionados