Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n n 2  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

a n = - 1 n + 1 2 n n 2  

Seja n = 2k (número par), então o limite infinito de a n temos:

lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 n n 2   = lim k →  ∞ ⁡ - 1 2 k + 1 2 2 k ( 2 k ) 2   = lim k →  ∞ ⁡ - 1 2 k + 1 ∙ l i m k →   ∞ 2 2 k ( 2 k ) 2  

Se 2k é par então 2k+1 é impar e, portanto - 1 2 k + 1 = - 1 , logo:

( - 1 ) ⁡ ∙ l i m k →   ∞ 2 2 k ( 2 k ) 2   = ( - 1 ) ⁡ ∙ l i m k →   ∞ 2 2 k + 1 ln ⁡ 2 4 k = - 1 ∙ l i m k →   ∞ 2 2 k + 2 ln 2 ⁡ 2 4 =   - 1 ∙ ∞ = - ∞    

Como a sequência u n é decrescente e tende para um valor diferente de zero a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Diverge.

Exercícios de Livros Relacionados

Use as seguintes etapas para mostrar que ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = ln ⁡ 2 Sejam h n e s n as somas parciais das séries harmônica e harmônica alternada.(a) Mostre que s 2 n = h 2 n - h n .(b) Do Exercíci
Mostre q a soma dos primeiros 2n termos da série 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + … É a mesma dos primeiros n termos da série 1 1 * 2 + 1 2 * 3 + 1 3 * 4 + 1 4 * 5 + 1 5 * 6 +
Prove a afirmação do Teorema 15 de que sempre que uma série alternada que satisfaça as condições do Teorema 14 for aproximada por uma das suas somas parciais, então o resto (soma dos termos não utiliz
O limite L de uma série alternada que satisfaz as condições do Teorema 14 está entre os valores de quaisquer duas somas parciais consecutivas. Isso sugere o uso da média s n + s n + 1 2 = s n + 1 2 -
O que é uma série alternada? Qual teorema está disponível para determinar a convergência de tal série?