Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 36
Use as seguintes etapas para mostrar que
Sejam e as somas parciais das séries harmônica e harmônica alternada.
(a) Mostre que .
(b) Do Exercício , da Seção , temos
e, portanto,
Use esses fatos junto com a parte (a) para mostrar que quando .
Passo 1
(a) E aí, galera? Pra mostrar que a soma daquela série é , primeiro a gente precisa mostrar isso:
ou seja,
Passo 2
Show! Vamos começar desenvolvendo o lado esquerdo:
Agora vamos desenvolver o lado direito, e ver se chegamos ao mesmo resultado:
Beleza! Os dois lados da equação são mesmo iguais!
Passo 3
(b) Olhando pras equações dadas, temos que, no infinito:
Mas, do item (a), temos:
Então, quando , teremos:
Assim, chegamos à conclusão de que quando .
Passo 4
Pra concluir a prova pedida no enunciado, vamos fazer uma mudança de variáveis na afirmação que acabamos de provar, beleza?
Voltando à variável , temos:
Ou seja, acabamos de provar isso:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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