Enunciado

Use as seguintes etapas para mostrar que

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = ln ⁡ 2

Sejam h n e s n as somas parciais das séries harmônica e harmônica alternada.

(a) Mostre que s 2 n = h 2 n - h n .

(b) Do Exercício 38 , da Seção 11.3 , temos

h n - ln ⁡ n → γ           q u a n d o   n → ∞

e, portanto,

h 2 n - ln ⁡ 2 n → γ           q u a n d o   n → ∞

Use esses fatos junto com a parte (a) para mostrar que s 2 n → ln ⁡ 2 quando n → ∞ .

Passo 1

(a) E aí, galera? Pra mostrar que a soma daquela série é ln ⁡ 2 , primeiro a gente precisa mostrar isso:

s 2 n = h 2 n - h n

ou seja,

∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n   - ∑ n = 1 ∞ 1 n

Passo 2

Show! Vamos começar desenvolvendo o lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) 2 n = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Agora vamos desenvolver o lado direito, e ver se chegamos ao mesmo resultado:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n   - ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n   - ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 2 - 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Beleza! Os dois lados da equação são mesmo iguais!

Passo 3

(b) Olhando pras equações dadas, temos que, no infinito:

h n → γ + ln ⁡ n

h 2 n → γ + ln ⁡ ( 2 n )

Mas, do item (a), temos:

s 2 n = h 2 n - h n

Então, quando n → ∞ , teremos:

s 2 n → γ + ln ⁡ 2 n - γ + ln ⁡ n = ln ⁡ 2 n - ln ⁡ n = ln ⁡ 2 n n = ln ⁡ 2

Assim, chegamos à conclusão de que s 2 n → ln ⁡ 2 quando n → ∞ .

Passo 4

Pra concluir a prova pedida no enunciado, vamos fazer uma mudança de variáveis na afirmação que acabamos de provar, beleza?

s 2 n → ln ⁡ 2           q u a n d o   n → ∞

2 n = m ⇒ n = m 2

s m → ln ⁡ 2           q u a n d o   m 2 → ∞

s m → ln ⁡ 2           q u a n d o   m → ∞

Voltando à variável n , temos:

s n → ln ⁡ 2           q u a n d o   n → ∞

Ou seja, acabamos de provar isso:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = ln ⁡ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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