Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

40. ∑ n = 2 ∞ 1 n n 2 - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Pelo problema, nós temos a seguinte série

∑ n = 2 ∞ 1 n n 2 - 1 = ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 n - 1 n + 1

Podemos supor a seguinte desigualdade

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 n - 1 n + 1 < ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 n - 1 n + 1 = ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 = ∑ n = 2 ∞ 1 n 2

Note que esta é uma p-série com p = 2 < 1 , sendo que esta é convergente, portanto, a série dada que é menor que uma série convergente também é convergente. Como todos os termos da série são positivos, a série absoluta é igual à série. Portanto, podemos dizer que a série converge absolutamente

Resposta

Converge absolutamente!

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