Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

16. a n = 2 n + 1 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Como a sequência a n é dada por

a n = 2 n + 1 1 n

Então, quando n se aproxima do infinito, a n ​ leva à forma indeterminada ∞ 0 (porque 1 n ​ vai para 0 e 2 n + 1 vai para o infinito).

Podemos aplicar a regra de L'Hospital se tomarmos o logaritmo natural de a n ​:

ln ⁡ a n = ln ⁡ 2 n + 1 1 n = 1 n ∙ ln ⁡ 2 n + 1 = ln ⁡ 2 n + 1 n   ( 2 )

Para colocar o expoente 1 n ​ na frente do logaritmo, usamos a seguinte propriedade da função logarítmica:

log a ⁡ M r = r log a ⁡ M

Passo 2

Se atuarmos na expressão (2) com o limite, obtemos:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n + 1 n     ( 3 )

Como o limite (3) leva à forma indeterminada ∞ ∙ ∞ que é adequada para a regra de L' Hospital, vamos diferenciar o numerador e o denominador separadamente:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 ∙ 2 n + 1 ' 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 = 0

Como a função logarítmica é contínua, então o limite e a função logarítmica comutam:

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Usando a propriedade da função logarítmica, obtemos que

log a ⁡ x = y ↔ x = a y

Obtemos que a avaliação do limite lim n → ∞ ⁡ a n é igual a:

lim n → ∞ ⁡ a n = e 0 = 1

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = e 0 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 49-52, estime a magnitude do erro envolvido no uso da soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n
Nos Exercícios 49-52, estime a magnitude do erro envolvido no uso da soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira. 1 1 + t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t n ,0t1
Nos Exercícios 49-52, estime a magnitude do erro envolvido no uso da soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ( 0,01 ) n n
Mostre com um exemplo que ∑ ( a n / b n ) pode convergir para algum número diferente de A / B mesmo quando A = ∑ a n , B = ∑ b n ≠ 0 e nenhum b n se iguala a 0.
O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.