Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( n + n + 1 )  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja o termo geral da sequência dado por:

∑ n = 1 ∞ 1 ( n + n + 1 )  

Para verificar se ela converge vamos aplicar o teste da integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 ( n + n + 1 ) = 2 3 n 3 2 - ( n + 1 ) 3 2 = 2 3 ∙ ∞ =   ∞

Sendo assim, a série diverge.

Porém, veja que a sequência a n =   1   n + 1 + n é positiva para todo n. Portanto a sequência u n é decrescente. Assim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1   n + n + 1 = 0

Como a sequência a n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Sendo assim, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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