Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine se as séries alternadas convergem ou divergem. Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 ln ⁡ n 2  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 4 ln ⁡ n 2  

que é positiva para todo n, vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = 4 ln ⁡ n 2   ' = 4 ' . ln ⁡ n 2 - 4 ∙ ln ⁡ n 2 ' ln ⁡ n 2 2 =   - 4 ∙ 2 ln ⁡ n ∙ 1 n ln ⁡ n 4 =   - 8 n ln ⁡ n 3 = - 8 n ln ⁡ n 3  

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 4 ln ⁡ n 2   = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste de Leibniz.

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