Enunciado

Nos Exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.

Passo 1

Para encontrar ∂ f ∂ x trataremos y e z como constantes e usaremos regras conhecidas de diferenciação. Da mesma forma, para encontrar ∂ f ∂ y trataremos x e z como constantes, e para encontrar trataremos x e y como constantes.

A derivada parcial em relação a x é calculada tratando toda a função como uma função de x e derivando em relação a x enquanto as outras variáveis são tratadas como constantes.

O procedimento é exatamente o mesmo para a variável y - tratamos toda a função como uma função de y e todas as outras variáveis como constantes.

O procedimento é exatamente o mesmo para quaisquer outras variáveis - tratamos a função inteira como uma função daquela variável em particular e todas as outras variáveis como constantes.

Tenha em mente que, ao calcular derivadas parciais, todas as regras de diferenciação de variável única ainda se aplicam (regra do produto, regra da cadeia, linearidade etc.).

Passo 2

h ( ρ , ϕ , θ ) = ρ s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ

∂ h ∂ ρ = ∂ ∂ ρ ( ρ s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ) = s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ∂ ∂ ρ ( ρ ) = s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ

∂ h ∂ ρ = s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ∂ h ∂ ϕ = ρ c o s ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ∂ h ∂ θ = - ρ s i n ⁡ ϕ s i n ⁡ θ

Resposta

∂ h ∂ ρ = s i n ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ∂ h ∂ ϕ = ρ c o s ⁡ ϕ c o s ⁡ θ ∂ h ∂ θ = - ρ s i n ⁡ ϕ s i n ⁡ θ

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